複数ストリートでのNuts/Airのベットサイズ
こんにちは
今回は「The Mathematics of Poker」のP.231のExample19.2の内容について書いていこうと思います。
題名の通り、複数のストリートがあるときのNuts/Airでのベットサイズについての内容です。
一つのストリートのNuts/Airではベットサイズはオールインを利用するのが最適ですが、複数のストリートがあるときはどうなのかを考えていきます。
一つのストリートの特殊な例についてもnoteを書いています。
ホールデムのTurnでpot:1
eff stack: Pの時のNuts/Airについてです。
X: Nuts , Air
Y: middle 1
Xがyの割合のNutsを持っていて、残りはEquityが0のAirであり、Yはブラフキャッチャーのみを持っている状況です。
Riverで何が出てもEquityが変化しないです。
という状況でのGTOについて考えます。
ベットサイズとして、Turnで, Riverで
のベットサイズを選択するとして計算し、最適なベットサイズを求めていきます。
Riverから逆算して考えます。
XがNutsをcheckすることはなく、全てのNutsでベットします。
Nutsをレンジに含んでいるXはYがcallしてもfoldしてもEVが同じになるようにAirを混ぜてベットします。
Riverでのpot: になっていて、ベットサイズが
なので
XはRiverではXはとなるようにベットします。
次にTurnに関して考えます。
Riverと同様にTurnでもNutsをレンジに含んでいるXはYがcallしてもfoldしても同じEVになるようにAirを混ぜてベットします。
YはRiverでXがベットしてきた時は損し、Xがcheckした時は
得するので、XのRiverでの
になるようにbetします。
こうすることでYはTurnでのXのベットに対してcallしてもfoldしてもEVが変わらず、RiverでのXのベットに対してcallしてもfoldしてもEVが変わらないです。
Xにしてみれば、一部のAirをcheckしてギブアップしてTurnでブラフを混ぜてベットし、さらにRiverでブラフの一部をcheckしてギブアップするという構造です。
今、XのNutsの割合をyとして考えています。
XがTurnでベットする割合は、
\begin{eqnarray*}
y \times (1+ \frac{s_2}{1+2s_1+s_2}) \times (1 + \frac{s_1}{1+s_1})
\end{eqnarray*}
とかけます。
Yは全てのハンドをfoldしてもXのEVは同じなので、XがTurnでベットすることができるAirを最大にしようとします。
ここでわかりやすいように、Xがベットした時のTurn, Riverでアクションによってpotが何倍になるかをそれぞれとします。
\begin{eqnarray*}
r_1 &=& 1 + 2s_1\\
r_ 2 &=& \frac{1 + 2s_1 + 2s_2} { 1 + 2s_1}
\end{eqnarray*}
です。
以上より、XのTurnでのベットレンジBは
\begin{eqnarray*}
B &=& y \times \frac{ r_1 \ r_2} { \frac{1}{2} r_1 ( r_2 + 1)} \times \frac{r_1}{2(r_1+1)} \\
&=& \frac{4yr_1r_2}{(r_1+1)(r_2+1)}
\end{eqnarray*}
です。
イメージ的にはそれぞれの分母がストリートのアクション前とアクション後のpotの平均、分子がアクション後のpotです。
XはRiverでALL-INするので
Bを最大化するすなわち
は
が最小になる時です。
これは相加相乗平均から、の時です。
従って、それぞれのストリートでpotが同じ倍率で大きくなる時、
すなわち同じpot size betを利用することがわかります。
実際piosolverで計算させてみてもそうなります。
ちなみにpiosolverでは残りのストリート数+eをbet sizeに入力するとこのサイズをtreeに入れて計算してくれます。
Flopから完全なNuts/Airを再現はできなかったのですが、同じようにほとんど一つのベットサイズを利用します。
実践的にも、強いvalueハンドでは複数のストリートで少しずつvalueをとってALL-INに向かいたいという感覚とも合致すると思います。
